Teori Himpunan Fuzzy Dalam Aktuaria, Pengenalan Dan Aplikasi

Istilah teori himpunan fuzzy mungkin agak asing terdengar di telinga kita dan tidak familiar di dunia asuransi bahkan dalam ilmu aktuaria. Teori ini masuk ke dalam bidang minat matematika murni (pure math) dan lebih khusus lagi masuk ke dalam sub bidang minat aljabar.

Di Indonesia teori ini tidak cukup dikenal, bahkan di kalangan mahasiswa atau lulusan jurusan matematika Strata 1 (S1) sekalipun tidak banyak yang mengetahuinya, karena memang umumnya tidak masuk kedalam kurikulum. Teori himpunan fuzzy adalah bidang yang relatif baru berkembang dalam matematika. Teori ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1965 secara simultan oleh Lotfi A. Zadeh dalam papernya yang berjudul Fuzzy Sets dan oleh Dieter Klaua dalam paper-nya yang berjudul An early approach toward graded identity and graded membership in set theory.

Himpunan fuzzy secara sederhana dapat disebut sebagai himpunan yang setiap anggotanya memiliki derajat keanggotaan (degree of membership) atau tingkat keanggotaan (grade of membership), dimana teori ini menerangkan himpunan dari objek-objek yang batas-batasnya tidak secara tajam didefinisikan. Sedangkan dalam aljabar boolean biasa, batasan objek-objeknya secara jelas didefinisikan, yaitu suatu objek tidak dapat secara bersamaan merupakan anggota dan bukan anggota dari suatu himpunan. Teori ini bertujuan memodelkan situasi yang dijelaskan secara samar-samar atau situasi yang terlalu kompleks atau tidak jelas untuk dianalisa dengan metode konvensional.

Meskipun teori ini masih tergolong baru, namun ilmu aktuaria relatif terlambat menggunakannya. Keterlambatan ini cukup disayangkan mengingat aplikasi yang cukup luas dari teori himpunan fuzzy ini. Kenapa hal ini dapat terjadi? Kemungkinan dari karakteristik dasar ilmu aktuaria yang berfokus pada pricing dan reserving dengan model probabilistik atau deterministik.

Metodologi aktuaria tradisional telah dibangun dengan model probabilistik, dan karena sering didorong oleh peraturan ketat dari bisnis asuransi, regulasi serta persaingan global dalam dua dekade terakhir, maka telah membuka pintu bagi metodologi baru, diantaranya adalah metode himpunan fuzzy ini. Himpunan fuzzy telah menjadi alat alternatif dalam pemodelan ketidakpastian yang mungkin tidak muncul dalam konsep stochastic.

Himpunan fuzzy lebih sesuai untuk situasi pada saat (atau bahkan setelah melakukan suatu percobaan) kita tidak bisa sepenuhnya menyelesaikan semua ketidakpastian. Ketidakjelasan dari hasil percobaaan seperti ini biasanya karena persepsi manusia atau penafsiran percobaan. Alasan lain mungkin karena tingkat kompleksitas yang tinggi dari fenomena yang diamati, ketika kita akhirnya mengacu pada pengalaman seorang ahli dan bukan pada perhitungan yang tepat. Sehingga perlu kiranya kita mengetahui secara garis besar tentang teori himpunan fuzzy ini.

Hal pertama yang harus diketahui adalah definisi himpunan fuzzy itu sendiri, yaitu sebagai berikut :

Suatu himpunan fuzzy A pada X adalah himpunan pasangan terurut A = {x, UA(x)}, x X dimana UA(x) disebut sebagai derajat keanggotaan pada A, dan UA : X M adalah fungsi dari X ke M, dimana M disebut sebagai ruang keanggotaan danmdalam hal ini M sama dengan interval bilangan riil [0,1], dengan nilai 0 adalah derajat keanggotaan terendah dan nilai 1 adalah derajat keanggotaan tertinggi. Dan jika ruang M hanya berisi dua titik 0 dan 1, maka A adalah nonfuzzy.

Seperti halnya teori matematika lainnya, teori himpunan fuzzy juga memiliki beberapa sifat dan operasi matematis, diantaranya adalah sebagai berikut :

Gabungan himpunan fuzzy A dan B, dinotasikan A U B, didefinisikan sebagai himpunan fuzzy terkecil yang mengandung kedua himpunan fuzzy A dan B, dimana fungsi keanggotaannya adalah UAUB (X) = max[UA(X), UB(X)], x X. Begitu juga dengan irisan himpunan fuzzy A dan B, dinotasikan A B, didefinisikan sebagai himpunan fuzzy terbesar yang terkandung dalam kedua himpunan fuzzy A dan B, dimana fungsi keanggotaannya adalah UA B (X) = min[UA(X), UB(X)], x X.

Himpunan fuzzy B disebut komplemen dari A jika dan hanya jika UB(X) = 1 − UA(X), x. Himpunan fuzzy B disebut himpunan bagian dari A jika dan hanya jika UB(X)<UA(X), x. Jika A adalah himpunan bagian fuzzy dari X, -cut A didefinisikan sebagai himpunan bagian nonfuzzy sedemikian sehingga A = {x | U(x) > } untuk 0 << 1. Suatu -cut dapat diartikan sebagai interval kesalahan yang nilai kebenarannya adalah .

Konsep dari derajat keanggotaan memungkinkan untuk mendefinisikan operasi yang tidak dimiliki oleh teori himpunan biasa (operasi yang unik di himpunan fuzzy). Operasi unik tersebut adalah concentration, dilation, intensification, dan fuzzification. Namun detail operasi unik tersebut tidak akan dibahas disini, dan akan langsung melangkah pada pembahasan terakhir yaitu aplikasi dari teori himpunan fuzzy ini dalam aktuaria khususnya dalam industri asuransi maupun reasuransi, baik asuransi jiwa, asuransi kesehatan atau pun asuransi umum.

Teori himpunan fuzzy ini dapat diaplikasikan pada underwriting, klasifikasi risiko, pricing, reserving, tingkat bunga, klaim dan lain lain. Aplikasi pada underwriting, sudah diperlihatkan oleh DeWit pada tahun 1982 dalam buku yang berjudul Insurance: Matematics and Economics pada Bab: Underwriting and Uncertainty, dimana dia menunjukkan bahwa proses underwriting asuransi adalah penuh dengan ketidakpastian yang mungkin tidak sesuai untuk dijelaskan dengan menggunakan probabilitas, sehingga memerlukan teori himpunan fuzzy.

Aplikasi pada underwriting juga diperlihatkan oleh Jean Lemaire pada tahun 1990 dalam paper-nya yang berjudul Fuzzy Insurance, dimana dia mengusulkan metodologi fuzzy logic untuk underwriting asuransi secara umum. Tidak sampai disitu saja, metodologi fuzzy pada underwriting terus mengalami perkembangan lebih lanjut, yang kemudian dipublikasikan oleh Young pada tahun 1994 dalam tulisannya yang berjudul The application of fuzzy sets to group health underwriting, dimana diperkenalkan algoritma tertentu untuk underwriting asuransi kesehatan kumpulan. Selanjutnya pada tahun 1997, dalam Journal of Actuarial Practice, Horgby dan kawan kawan memperkenalkan fuzzy inference rules dengan menarik kesimpulan umum dalam modus ponens sebagai cara underwriting risiko kematian bagi calon tertanggung yang menderita diabetes mellitus, dalam tulisannya yang berjudul Fuzzy underwriting: an application of fuzzy logic to medical underwriting.

Sedangkan aplikasi pada pricing, salah satunya diperlihatkan juga oleh Jean Lemaire pada paper yang sama yaitu Fuzzy Insurance, dimana diperlihatkan perhitungan fuzzy insurance premium untuk produk pure endowment. Masih dalam paper yang sama, Fuzzy Insurance, Jean Lemaire juga memperlihatkan aplikasi himpunan fuzzy dalam reasuransi, yaitu masalah selection of an optimal excess of loss retention serta aplikasi pada area lainnya seperti klasifikasi risiko, diantaranya diperkenalkan oleh Ebanks, Karwowski, & Ostaszewski pada tahun 1992, dalam tulisan mereka yang berjudul Application of measures of fuzziness to risk classification in insurance. Dan selanjutnya pada tahun 1993, Ostaszewski juga memperlihatkan aplikasi pada klasifikasi risiko dalam bukunya yang berjudul An Investigation into Possible Applications of Fuzzy Sets Methods in Actuarial Science. Dan masih banyak lagi referensi-referensi lainnya mengenai aplikasi dari himpunan fuzzy dalam aktuaria yang tidak mungkin disebutkan semuanya disini. Dan ke depannya diharapkan aplikasi dari teori himpunan fuzzy ini akan terus berkembang luas di segala bidang, khususnya dalam aktuaria, dan tidak hanya dalam teori saja namun dapat digunakan langsung dalam praktek kerja sesungguhnya.

(Reinfokus edisi I, tahun 2012)